التحقيق العددي لمعادلة شرودنغر المعتمدة على الزمن عبر منهج الفروق المحدودة

الملخص

يُقدم هذا البحث منهجًا عدديًا مباشرًا ودقيقًا وفعالًا للحصول على حلول لمعادلة شرودنغر المعتمدة على الزمن(TDSE) ، وذلك باستخدام طريقة الفروق المحدودة. (FDM) تستخدم المنهجية مخطط الفروق الأمامية للمشتقات الزمنية ومخطط الفروق المركزية من الرتبة الثانية للمشتقات المكانية، وقد تم تطبيق الإطار الحسابي في برنامج MATLAB   .تم إثبات فعالية الطريقة المقترحة بدقة من خلال محاكاة حزمة موجية إلكترونية في سيناريوهات مختلفة. تشمل النتائج الرئيسية تأكيد المبادئ الكمومية الأساسية، مثل مبدأ هايزنبرغ لعدم اليقين والحفاظ على الطاقة الكلية (القيمة المتوقعة) خلال تطور النظام. يكشف تحليل تفاعلات حزمة الموجة مع حواجز خطوية جاذبة ونافره عن ظواهر الانتشار والانعكاس الاحتمالي والانتقال، مع الحفاظ على الاحتمال الكلي بشكل ثابت. علاوة على ذلك، تم استكشاف ديناميكيات حزم الموجات الإلكترونية في المجالات الكهربائية المنتظمة (ظروف التسريع والتباطؤ والمجال الصفري)، مما يوضح تحولات الطاقة ويقدم رؤى حول سلوكها مقارنة بالتنبؤات الكلاسيكية. تؤكد هذه المحاكاة مجتمعةً على قوة وتنوع منهج FDM ، الذي يمكن توسيعه بسهولة ليشمل أبعادًا أعلى وتطبيقات متنوعة تعتمد على الزمن، وبالتالي يساهم في فهم حسابي أعمق للأنظمة الميكانيكية الكمومية.